Toán học Ả Rập và Đạo Hồi

     Đế chế Ả Rập Đạo Hồi được thiết lập trên toàn bộ Trung Đông, Trung Á, Bắc Phi,

Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī

Iberia, và một số phần của Ấn Độ trong thế kỉ 8 đã tạo nên những cống hiến quan trọng cho toán học. Mặc dù phần lớn các văn bản Đạo Hồi được viết bằng tiếng Ả Rập, chúng không hoàn toàn được viết bởi những người Ả Rập, rất có thể do vị thế của Hy Lạp trong thế giới Hellenistic, tiếng Ả Rập được sử dụng như là ngôn ngữ viết của các học giả không phải người Ả Rập trong thế giới Đạo Hồi thời bấy giờ. Một số trong những nhà toán học Đạo Hồi quan trọng nhất là người Ba Tư.

      Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, một nhà toán học và thiên văn học Ba Tư thế kỉ thứ 9, đã viết một vài cuốn sách quan trọng về hệ ghi số Hindu-Arabic và về các phương pháp giải phương trình. Cuốn sách của ông Về tính toán với hệ ghi số Hindu, được viết khoảng năm 825, cùng với công trình của nhà toán học Ả Rập Al-Kindi, là những công cụ trong việc truyền bá toán học Ấn Độ và hệ ghi số Hindu-Arabic tới phương Tây. Từ algorithm (thuật toán) bắt nguồn
từ sự Latin hóa của tên ông, Algoritmi, và từ algebra (đại số) từ tên của một trong những công trình của ông, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân đối). Al-Khwarizmi thường được gọi là "cha đẻ của đại số", bởi sự bảo tồn các phương pháp đại số cổ đại của ông và các cống hiến của ông đối với lĩnh vực này. Các phát triển thêm của đại số được thực hiện bởi Abu Bakr al-Karaji (953—1029) trong học thuyết của ông al-Fakhri, ở đó ông mở rộng các quy tắc để thêm cả lũy thừa số nguyên và nghiệm nguyên vào các đại lượng chưa biết. Vào thế kỉ 10, Abul Wafa đã dịch công trình của Diophantus thành tiếng Ả Rập và phát triển hàm tang.

   

Nasir al-Din Tusi và bảng Ilkhanic

Chứng minh đầu tiên bằng quy nạp toán học xuất hiện trong một cuốn sách viết bởi Al-Karaji khoảng 1000 CN, người đã sử dụng nó để chứng minh định lý nhị thức, tam giác Pascal, và tổng của các lập phương nguyên. Nhà nghiên cứu lịch sử toán học, F. Woepcke, đã ca ngợi Al-Karaji là "người đầu tiên giới thiệu các định lí của các phép tính đại số."

     Ibn al-Haytham là người đầu tiên bắt nguồn sử dụng các công thức tính tổng của lũy thừa bậc bốn sử dụng phương pháp quy nạp, từ đó phát triển thành phương pháp tính tích phân.

     Omar Khayyam, nhà thơ thế kỉ 12, cũng là một nhà toán học, viết Bàn luận về những khó khăn của Euclid, một cuốn sách về các thiếu sót của cuốn Cơ sở của Euclid, đặc biệt là tiên đề về đường thẳng song song, và do đó ông đặt ra nền móng cho hình học giải tích và hình học phi Euclid. Ông cũng là người đầu tiên tìm ra nghiệm hình học của phương trình bậc ba. Ông cũng có ảnh hưởng lón trong việc cải tổ lịch.

     Nhà toán học Ba Tư Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) vào thế kỉ 13 đã tạo nên những bước tiến trong lượng giác hình cầu. Ông cũng viết các công trình có ảnh hưởng lớn tới tiên đề về đường thẳng song song của Euclid.

     Vào thế kỉ 15, Ghiyath al-Kashi đã tính giá trị số π tới chữ số thập phân thứ 16. Kashi cũng có một thuật toán cho phép tính căn bậc n, là trường hợp đặc biệt của các phương pháp đã đưa ra hàng thế kỉ sau bởi Ruffini và Horner. Các nhà toán học Hồi giáo đáng lưu ý khác bao gồm al-Samawal, Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, Jamshid al-Kashi, Thabit ibn Qurra, Abu Kamil và Abu Sahl al-Kuhi.

     Đến thời Đế chế Ottoman (từ thế kỉ 15), sự phát triển của toán học Hồi giáo bị chững lại. Điều này song song với sự chững lại của toán học khi người Roma chinh phục được thế giới Hellenistic.

John J. O'Connor và Edmund F. Robertson viết trong cuốn MacTutor History of Mathematics archive:

"Những nghiên cứu gần đây vẽ ra một bức tranh mới về những thứ mà ta nợ toán học Đạo Hồi. Hiển nhiên rất nhiều các ý tưởng nghĩ ra trước đó đã trở thành những khái niệm tuyệt vời do toán học Châu Âu của thế kỉ mười sáu, mười bảy, mười tám theo ta biết là đã được phát triển bởi các nhà toán học Ả Rập/Đạo Hồi bốn thế kỉ trước đó. Trong nhiều khía cạnh, toán học được nghiên cứu ngày nay còn gần hơn về phong cách đối với những thứ đó của toán học Đạo Hồi hơn là những thức của toán học Hellenistic."

Bút tích của Jamshīd al-Kāshī